3人の囚人問題の答えを超わかりやすく解説しました

3囚人問題 数学

今回ご紹介するのは「3囚人問題」と呼ばれている確率論に関する問題です。

この問題の面白さは2つあって、1つは実際の答えと感覚的な答えとにギャップを感じるパラッドクス的な要素があること。2つ目は問題の盲点をついた、別の解答があること。

もし初見で2つ目の盲点をついた別解答で答えた人は相当捻くれてる(良い意味で)と思います(笑)

ちなみにこの記事に書いた解答と解説については世界一わかりやすい(自称)と思っています。

以前このブログで「モンティ・ホール問題」というものを紹介しましたが、今回の「3囚人問題」も実質的には似ている問題ですが、非常に面白い問題なのでぜひ挑戦してみてください!

「3囚人問題」をスーパーわかりやすく説明した

3囚人問題とは

では早速どんな問題か紹介していきます。解くために特に難しい知識も必要ないので、ぜひ皆さんも挑戦してみてください!

「囚人A」「囚人B」「囚人C」という3人の囚人が牢獄に捕まっていました。3人共に極刑が確定していたのですが、特別に1人だけ恩赦を与えられる(釈放される)ことになりました。

その1人の決め方は完全なランダム。つまり釈放される確率は全員が1/3です。

そして看守からその一人が決まったと伝えられました。全員が「誰が釈放になるんだ?」と聞いても、その時点では看守は教えてくれません。

そこで囚人Aは看守に「囚人Bか囚人Cのうち極刑になる一人を教えてくれ。自分のことではないからいいだろ?」と言いました。

すると看守は「わかった。囚人Bは極刑になる。」と教えてくれました。これを聞いた囚人Aは心の中でこう思いました。(ということは、釈放されるのは自分か囚人Cのどちらかだ。つまり確率は1/2!これで最初の1/3から確率が上がったぞ…グヘヘ)

さて、ここからがこの問題の本題です。囚人Aは囚人Bが極刑になることが確定したことによって、釈放されるのは自分である囚人Aか囚人Cの2択。つまり釈放される確率が1/2になったと考え喜びましが、この考えは正しいでしょうか?という問題です。

確かに釈放されるのは囚人Aか囚人Cのどちらかであることは紛れもない事実です。皆さんはどう思いますか?

解答と解説

ではここから3囚人問題の解答と解説をしていきます。囚人Aと囚人Cの2人に1人ということは、確かに囚人Aが考えている1/2という確率は正しそうな気がしますよね。

解答

まずは答えから先に言うと、囚人Bが極刑であることが確定したとしても、囚人Aが釈放される確率は1/3で変わりません。

囚人Aが考えたように、「え、囚人Aか囚人Cの2択なんだから1/2だろっ!!」って思った方もいるかしれませんね。

解説

ではなぜ同じ1/3なのか解説していきます!

この問題の解き方ですが、もし数学的にしっかりと解く場合はベイズの定理というものを使うのですが、ここで説明していると大変ですし、何よりも初めての方にはわかりにくいので、もっと簡単な確率問題として解説します。

他のサイトを見ると手を変え品を変え色々な説明の仕方を目にしますが、個人的にはこれから説明する解説が初めての方にも一番わかりやすいかなって思います(笑)

例えば、サイコロを振って1の目が出る確率って1/6ですよね?これは出目が全部で6パターンあって、そのうちの1パータンが出る確率だからです。

じゃあサイコロは出目が6パターンですが、この問題の場合は起こりうる選択肢は何パターンだと思います?1/2と解答してしまうのは、囚人Aが釈放or囚人Cが釈放の2パターンだと思っているから1/2って考えちゃうわけですよね。

でも実際は3パターンあるから1/3なんです。これを説明します。

問題では囚人Aが自分以外で極刑になる人を聞いているわけですが、この時看守の答えとしては以下の3通りが考えられます。

  1. 囚人Cが釈放で、看守が囚人Bと答える場合
  2. 囚人Aが釈放で、看守が囚人Bと答える場合
  3. 囚人Aが釈放で、看守が囚人Cと答える場合

ポイントは囚人Aが釈放の場合は、看守の答えとしては囚人Bが極刑になるか、囚人Cが極刑になるか答え方が2通り、囚人Cが釈放の場合は1通りであること。

上記の3パターンの内看守が囚人Bと答えて、かつ囚人Aが釈放される場合は2番の1パターンだけですよね。

よって囚人Aが釈放になる確率は1/3ってことです。

わかりましたでしょうか?

ちなみに数学とか証明とか関係無く、ただただ感覚的に説明すると、最初に3人のうち1人が釈放と言われた時に囚人Aが釈放になる確率は1/3ですよね?その後に自分以外で極刑になる1人を聞いたわけですが、どんな場合であろうと囚人Bと囚人Cの2人の中に1人は必ず極刑になる人がいるわけですから、それを聞いたところでこの状況に何も変化はないので1/3のままって考え方もできなくはないです(笑)

もう一つの解答と解説

さて、この問題実は非常に有名でしてWikipediaでも詳しく解説されているわけですが、ここを見ると実は上記でお話した解答以外に、もう一つ違った解答が書いてあるんですよ。

それが冒頭でお話した問題文の盲点をついた解答というやつです。では早速紹介していきます。

解答(別パターン)

ではそのもう一つの解答とは、「囚人Aが釈放される確率は0〜50%で変化する」です。

もうわけわかめですよね(笑)実はこのもう一つの解答が出てしまう理由は、そもそもの問題文に曖昧な箇所があるからで、問題文の解釈の仕方ではこういった答えも出せちゃいますよって話らしいです。

これから解説していきますが、個人的な意見としてはただの屁理屈としか思いませんが、そのように解釈出来ちゃう人がいる時点で問題側の非になってしまうんですよね(笑)

解説(別パターン)

では囚人Aが釈放となる確率が0〜50%で変化する理由を説明します。

問題分に曖昧なところがあるからこの答えが出ると説明しましたが、その曖昧と言われる部分が、囚人Aが看守に自分以外で極刑になる人を教えてくれと聞いた時に、仮に囚人Aが釈放となり、囚人Bと囚人Cが極刑の場合に、看守がどちらを教えるかの確率が書いていないというところです。

1/3という解答はあくまで、上記の場合に看守が囚人Bと答えるか囚人Cと答えるかは完全ランダムの1/2と仮定した場合に成り立つわけであって、もしこれが1/2でなけば、その確率によって答えは変わるってことです。

例えば看守が絶対に囚人Bと答える場合、最初の解説で説明した3パターン(下記の3つ)

  1. 囚人Cが釈放で、看守が囚人Bと答える場合
  2. 囚人Aが釈放で、看守が囚人Bと答える場合
  3. 囚人Aが釈放で、看守が囚人Cと答える場合

のうち3番の可能性がなくなり2パターンとなって、1/2で囚人Aが釈放となる確率は50%

逆に絶対に囚人Cと答える場合は、看守が質問に対して囚人がB極刑になると答えた時点で、囚人Cの釈放が確定(もし囚人Bと囚人Cの2人が極刑の場合は囚人Cと答えるため)し、囚人Aが釈放となる確率は0%になる。

とのことです。要は看守のさじ加減で答えが変わるだろってことです(笑)

まとめ

「3囚人問題」の紹介と解答解説をしましたが、いかがだったでしょうか。直感で考えると確かに1/2って感じですが、冷静にパターンを考えると違うことに気づきますよね。

  • 囚人Aが釈放される確率は1/3
  • 問題の解釈次第では0〜50%で変化する。

ちなみに冒頭で似たような問題として「モンティー・ホール問題」といものがあるとお話しましたが、もしこの記事を読んでみて興味が出たらぜひそちらも挑戦してみてください!

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