誰もが驚く答え…モンティ・ホール問題が面白い!

モンティ・ホール問題 数学

皆さんは「モンティ・ホール問題」をご存知ですか?

今回のお話は、数学の面白い問題の紹介になります。

数学の「確率」の分野の問題なのですが、数学界ではとても有名で「世界を震撼させた問題」と紹介されることもあります。

どうしてそのように言われているかは、実際に問題を解いてもらえればわかると思うので、早速どんな問題なのか紹介していきます!

問題自体は非常にシンプルで、紙もペンも必要ないし、高度な知識や計算なども一切いらないので、皆さんもひとまずは挑戦してみて下さい!

モンティ・ホール問題とは

では実際にどんな問題なのか説明していきます!冒頭でも話しましたが、問題自体は非常にシンプルなものです!

オクラ
オクラ

レサ男くんが今一番欲しいものを教えて?

レサ男
レサ男

今欲しいのは…大型テレビ!

オクラ
オクラ

よし(笑)じゃあレサ男くんにはこれから、テレビを賭けてゲームに挑戦してもらいます!

レサ男
レサ男

よし!!どんなゲーム??

オクラ
オクラ

ここに「A」「B」「C」の3つの同じ箱があります!1つの箱にはテレビが、残りの2つは空箱です。もしレサ男くんがテレビの入っている箱を当てられたら、そのままテレビをあげちゃいます!

モンティホール

 

レサ男
レサ男

よし、絶対当ててやる!!確率は1/3だな!うーん…Aだ!!

モンティホール1

オクラ
オクラ

なるほど「A」にするんだね…。じゃあレサ男くんにはここでヒントをあげちゃいます!選ばなかった「B」と「C」の内、「C」は空箱です!

モンティホール2

レサ男
レサ男

え、「C」が空箱??ってことはテレビは「A」か「B」ってことだよね。それの何がヒントなの!?

オクラ
オクラ

さぁ、レサ男くん。このヒントを聞いて、最初に選んだ「A」から「B」に変えても良いよ??どうする??

モンティ3

 

さぁ、ここからが問題です。レサ男くんは最初に「A」の箱を選びました。しかしその後「C」は空箱と教えてもらい、その結果を受けて「B」に変えても良いと言われました。

では、最初に選んだ「A」のままにするのと、「B」に変えるのでは、どちらの方が当たる確率が高いでしょう??

つまり答えとしては、以下の3択になります。

  1. 「A」のままにするのが良い。
  2. 「B」に変えた方が良い。
  3. 「A」「B」どちらも当たる確率は変わらない。

これがモンティ・ホール問題です。

さあ、皆さんは上の選択肢のうち、何番が正解だと思いますか?

次項で解答と解説をしますが、まずは是非自分で考えてみてから、読み進めてみてください!

モンティ・ホール問題が世界を震撼させた理由

皆さん答えは選びましたか?

解答発表の前に、この単純そうな問題がなぜ世界を震撼させたと言われるのか説明しましょう。

この問題はアメリカのテレビ番組で放映された問題で、その時の番組の司会者がモンティ・ホールさんという方だったため、「モンティ・ホール問題」という名前がつけられています。今回はテレビの入った箱と空箱で説明しましたが、その時は車(当たり)とヤギ(ハズレ)が入っている部屋の扉が3つという設定でした。

1990年にマリリン・ボス・サヴァントさん(世界一IQの高い人物としてギネスに登録されたこともあるすごい人)が雑誌のコラムにて、この問題の正しい解答と解説を行ったのですが、その読者から約1万通の「彼女の解答は間違っている!」という投書が殺到し、その中には多くの数学者もいたことから大論争となりこの問題が世界を震撼させたという経緯です。

問題自体は単純でありながら、学者同士でも意見が分かれ世界的に大論争となった

その後もマリリンは多くの反論に耐えながら、説明の仕方を試行錯誤し解説を続けるのですが、その度に反論が絶えることなく送られました。そしてついにはマリリン自身を侮辱するような言い方までされる事態に発展してしまったのです。

最終的には彼女の解答を支持していた学者達の協力もあり、マリリンの解答が正しいということが認められました。反論していた学者達の中には公の場で謝罪を行う人もいたとのことです。

そんな波乱万丈があった問題なんですが、早速ここから解答と解説を行います!皆さんはこの解答を見てどう感じるでしょうか??

解答と解説

それでは「モンティ・ホール問題」の解答と解説をしていきたいと思います!

よくある回答

まずこの問題で一番回答率が多いのは、3番の「どちらを選んでも変わらない」です。皆さんも3番だと思った方が多いのではないでしょうか。

ちなみに前項でお話しした「約1万通の反論の投書」も、このどちらを選んでも変わらないとい内容でした。

この解答の考え方として多いのは、「C」が空箱ということは、「A」と「B」は片方がテレビ、もう片方が空箱ということになります。この2つから選ぶわけですから、確率はどちらも1/2。つまり、「A」を選ぼうが、「B」を選ぼうが変わらないだろうという理由。

確かにこの解説を聞いたら「なるほど3番だね!」と思うかもしれません。

でも残念ながら3番はハズレなんですね…

「え、絶対あってるでしょ!」と思うかもしれませんが、この一見正しいと思われる回答が誤りであることが、モンティ・ホール問題の面白さなんです!

ではでは、正しい解答と解説をしていきます!

正しい解答

正解から先に言うと、2番の「B」に変えるです。実は「A」と「B」では当たる確率が2倍も違うんですよ。具体的には「A」は1/3、「B」は2/3になります。

3番を選んでいた方からすると信じられないかもしれませんが、本当に2倍違うんです(笑)

解説

では「B」に変えた方が確率が上がる理由を解説していきます。

まず最初に、3つの箱から1つを選んだ時を考えます。レサ男くんは「A」を選びましたが、この「A」が当たりである確率はわかりますか?3つの中から、1つの当たりを引く確率なので、これは1/3ですよね。

では逆にこの時、「A」がハズレである確率は何でしょう?当たりである確率が1/3ということは、ハズレである確率は2/3になります。

ちなみに「A」がハズレということを言い方を変えると、当たりが「B」か「C」のどちらかという場合になりますよね。

ではここまでの話を一度整理すると…

「A」が当たりの確率は1/3、「B」or「C」が当たりの確率は2/3

次に「C」はハズレであるというヒントが出ましたよね。このヒントによって、前文で「B」or「C」が当たりの確率は2/3と説明しましたが、この当たりが「B」or「C」という選択肢から「C」が消えたことになります。

つまりどういうことかと言いますと…!!!

「A」が当たりの確率は1/3、「B」が当たりの確率は2/3。「A」よりも「B」の方が当たる確率が2倍ということ

よって正解は2番の「B」に変えた方が良いということになるんです!

感覚的に考えると、はじめに「A」を選んだ時点で当たる確率が1/3ということは、選んでない「B」か「C」のどちらかに当たりがある確率の方が高いことはわかりますよね。そこで確率が高い「B」か「C」のうち「C」がハズレとわかれば、残りの「B」を選んだ方が「A」より当たりやすい感じがしませんか?

補足として説明すると、もし最初に一つを選ぶ前に「C」が空箱ということがわかった場合は、単純な2択なので「A」「B」ともに1/2で確率は変わりません。

つまりポイントは、最初に選んだもの以外の2つの中からハズレがわかった場合に、このような結果になるということです。

以上が正しい解答とその解説になりますが、皆さんはこの解説で納得できましたか?(笑)

モンティホール問題の面白さ

もしかしたら解説を聞いても納得の出来ない人がいるかもしれません。(笑)

解説を聞いても納得の出来ない人が多いのが、この問題の面白さの一つです。感覚的な正解と、実際の正解とのギャップがあることから、この問題は単純な数学の問題ではなく、ジレンマやパラドックス、心理トリックを利用しているといった言い方もされたりしています。

この問題が当時ここまで世界的に話題になった理由は、一般人でも解答できるほど単純だからでしょう。もしもっと専門的な知識が必要で、普通の人では問題自体何言ってるのか理解できないレベルであれば、あくまで学者同士の論争だけで終わっており、ここまで話題にはならなかったと思います。

数学の問題の中には、今回の「モンティ・ホール問題」のように、単純ながら奥の深いものが沢山あるので、興味の出た方は色々と調べてみるのも面白いかもしれませんね!

ちなみにですが、このモンティー・ホール問題と似た問題で「3囚人問題」というものがあります。この問題についても解説記事を書いているので、興味があればチェックしてみてください!

3人の囚人問題の答えを超わかりやすく解説しました
「3囚人問題」の答えを超わかりやすく解説しました。難しい事を考えなくても、初歩的な確率の知識で理解できちゃいますよ!